在數(shù)學(xué)分析中，對(duì)于給定的二元函數(shù)，求解其偏導(dǎo)數(shù)和全微分是基本且重要的操作。本文以函數(shù)\(z = y e^x\)為例，詳細(xì)求解\(\frac{\partial z}{\partial x}\)、\(\frac{\partial z}{\partial y}\)以及全微分\(dz\)，并闡述其計(jì)算過(guò)程。

一、問(wèn)題背景

設(shè)二元函數(shù)\(z = y e^x\)，其中\(zhòng)(x\)和\(y\)為自變量，\(z\)為因變量。根據(jù)題目要求，需分別求：

• \(\frac{\partial z}{\partial x}\)（對(duì)\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)）
• \(\frac{\partial z}{\partial y}\)（對(duì)\(y\)的偏導(dǎo)數(shù)）
• \(dz\)（全微分）

二、求解偏導(dǎo)數(shù)

1. 對(duì)\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)

在求\(\frac{\partial z}{\partial x}\)時(shí)，將\(y\)視為常數(shù)。函數(shù)\(z = y \cdot e^x\)中，關(guān)于\(x\)的導(dǎo)數(shù)即指數(shù)函數(shù)\(e^x\)的導(dǎo)數(shù)（\(e^x\)的導(dǎo)數(shù)為\(e^x\)），乘以常數(shù)\(y\)。因此：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \fracgeanmo6jsc{dx}(e^x) = y \cdot e^x
\]

2. 對(duì)\(y\)的偏導(dǎo)數(shù)

在求\(\frac{\partial z}{\partial y}\)時(shí)，將\(x\)視為常數(shù)。此時(shí)\(z\)是\(y\)的線性函數(shù)，系數(shù)為\(e^x\)，故：
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \fracgeanmo6jsc{dy}(y \cdot e^x) = e^x
\]
因?yàn)槌?shù)\(e^x\)對(duì)\(y\)的導(dǎo)數(shù)就是1乘以該常數(shù)。

三、求解全微分

二元函數(shù)\(z = f(x, y)\)的全微分定義為：
\[
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
\]
將上述偏導(dǎo)數(shù)代入：
\[
dz = (y e^x) dx + (e^x) dy = e^x (y dx + dy)
\]

四、結(jié)果與討論

通過(guò)以上步驟，我們得到：

• \(\frac{\partial z}{\partial x} = y e^x\)
• \(\frac{\partial z}{\partial y} = e^x\)
• \(dz = e^x(y dx + dy)\)

可以看出，偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算結(jié)果清晰直接。全微分則結(jié)合了偏導(dǎo)數(shù)與變量增量，描述函數(shù)在局部線性近似中的變化率，在實(shí)際問(wèn)題（如近似計(jì)算、波動(dòng)傳播等）中具有廣泛應(yīng)用。若對(duì)二元混合偏導(dǎo)（如\(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\)）感興趣，可繼續(xù)應(yīng)用Clairaut定理驗(yàn)證連續(xù)性，但不在本問(wèn)范圍內(nèi)。

本例充分體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則和偏微分定義的本質(zhì)，為更復(fù)雜的多元函數(shù)分析提供了基礎(chǔ)。